SVD Matlab的实现

Question

我试图编写一个将矩阵分解为SVD格式的matlab代码。

“理论”：

要获得U，我发现AA的特征向量”，并获得V，我发现A'A的特征向量。最后，Sigma是与A相同维数的矩阵，特征值在对角线上的根在有序序列中。

但是，它似乎没有正常工作。

A=[2 4 1 3; 0 0 2 1]; 

% Get U, V 
[aatVecs, aatVals] = eig(A*A'); 
[~, aatPermutation] = sort(sum(aatVals), 'descend'); 
U = aatVecs(:, aatPermutation); 

[ataVecs, ataVals] = eig(A'*A); 
[~, ataPermutation] = sort(sum(ataVals), 'descend'); 
V = ataVecs(:, ataPermutation); 

% Get Sigma 
singularValues = sum(aatVals(:, aatPermutation)).^0.5; 
sigma=zeros(size(A)); 
for i=1:nnz(singularValues) 
    sigma(i, i) = singularValues(i); 
end 

A 
U*sigma*V' 

U *西格玛* V”似乎为-1的因子返回：

ans = 

-2.0000 -4.0000 -1.0000 -3.0000 
0.0000 0.0000 -2.0000 -1.0000 

什么代码或‘理论’，导致它的错误呢？

Answer 1

特征向量不是唯一的（因为Av==λv的定义，任何w与μw==v和μ~=0也是一个特征向量）。恰巧，由eig返回的特征向量不匹配正确的SVD（即使它们被归一化）。

但是，我们可以构造U，一旦我们有V，我们将在您的算法中找到A'*A的特征向量。一旦找到V作为排序的特征向量，您必须找到U匹配。由于V是正交的，因此A*V == U*sigma。因此，我们可以设置

U = [A*V(:,1)./singularValues(1) A*V(:,2)./singularValues(2)]; 

而事实上，A == U*sigma*V'，特别是这里找到U也正是U有你的算法发现负。